Question

设A是抛物线y=ax²（a＞0）准线上任意一点，过A点作抛物线的切线l₁，l₂，切点为P，Q．
（1）证明：直线PQ过定点；
（2）设PQ中点为M，求|AM|最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,抛物线的简单性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出直线PQ的方程，即可证明直线PQ过定点；
（2）设PQ中点为M，即可求|AM|最小值．

解答： （1）设P，Q坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）则两条切线l₁，l₂的斜率为分别为
k₁=f′（x₁）=2ax₁，k₂=f′（x₂）=2ax₂，
故切线l₁，l₂的方程为

y-ax12=2ax1(x-x1) y-ax22=2ax2(x-x2)

，即

y=2ax1x-ax12 y=2ax2x-ax22

，
解得

x= 1 2 (x1+x2) y=ax1x2

，
得A点的坐标为（

1

2

（x₁+x₂），ax₁x₂），
因为A在准线上故ax₁x₂=-

1

4a

，则x₁x₂=-

1

4a2

，
设PQ的方程为y=kx+b代入y=ax²得ax²-kx-b=0，
得x₁+x₂=

k

a

，x₁x₂=-

b

a

，
故x₁x₂=-

1

4a2

=-

b

a

，得b=

1

4a

，
PQ的方程可写为y=kx+

1

4a

，
故过点（0，

1

4a

）．
（2）∵k₁k₂=4a²x₁x₂=4a²（-

1

4a2

）=-1，
∴两条切线l₁⊥l₂ 则|AM|=

1

2

|PQ|，
∴|AM|_min=

1

2

|PQ|=

1

2

×

1

a

=

1

2a

．

点评：本题主要考查函数的切线，利用导数的几何意义是解决本题的关键，综合性较强