Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足： ．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：设， ，（1）根据直线的方程为时，线段的长为，可分别求得和，从而求得椭圆的标准方程；（2）方法一：直线的斜率为，由得直线的斜率为，即可分别表示出直线和直线的方程，联立直线方程，得，从而可得；方法二：设直线， 的斜率为， ，则直线的方程为，由得直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程，从而求得，再由在椭圆上，得与的数量关系，从而表示出直线的方程，即可求得，进而求得.

试题解析：设， ．

（1）在中，令，得，从而b3．

由得．

∴．

∵

∴，解得．

∴椭圆的标准方程为．

（2）方法一：

直线的斜率为，由，则直线的斜率为．

于是直线的方程为： ．

同理， 的方程为： ．

联立两直线方程，消去y，得．

∵在椭圆上

∴，从而．

∴．

∴．

方法二：

设直线， 的斜率为k， ，则直线的方程为．

由直线的方程为．

将代入，得，

∵是椭圆上异于点， 的点

∴，从而 ．

∵在椭圆上

∴，从而．

∴，得．

由，所以直线的方程为．

联立则，即．

∴．