Question

【题目】已知函数．

（）当时，求曲线在点处的切线方程．

（）如果函数在上单调递减，求的取值范围．

（）当时，讨论函数零点的个数．

Answer 1

【答案】（）．（）．（）见解析．

【解析】试题分析： 求出当时的的解析式，求出导数，求得切线的斜率和切点，即可求得切线方程为；

由在上单调递减，等价于在上恒成立，变形得到恒成立，运用基本不等式求得右边的最小值，即可得到的取值范围；

求出，求得单调区间和最小值，讨论最小值的符号，对讨论，当当时，当时，当时，讨论函数的单调性，即可判断零点的个数

解析：（）当时， ， ，

∴， ，

∴在点处的切线方程为： ，即．

（）函数在上单调递减，

等价于在上恒成立，

即恒成立，

∵，当且仅当，

即时，等号成立．

∴，即的取值范围是．

（），

令，得，

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增，

∴．

①当时， ， 在定义域内无零点；

②当时， ，则在定义域内有唯一的零点；

③当时， ，

由，

所以在增区间内有唯一零点；

，

设，则，

∵，

∴，

∴在上单调递增，

∴，即，

∴在减区间内有唯一的零点，

则时， 在定义域内有两个两点，

综上所述：当时， 在定义域内无零点；

当时， 在定义域内有唯一的两点；

当时， 在定义域内有两个零点．