Question

16．（1）已知幂函数f（x）=（-2m²+m+2）x^-2m+1为偶函数，求函数f（x）的解析式；
（2）已知x+x^-1=3（x＞1），求x²-x^-2的值．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义以及函数的奇偶性求出m的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）法一：求出x+x^-1，x-x^-1，代入求值即可；法二：求出x的值，代入求值即可；法三：求出x+x^-1，代数式变形平方即可．

解答 解：（1）由f（x）为幂函数知-2m²+m+2=1，得m=1或m=-$\frac{1}{2}$…（2分）
当m=1时，f（x）=x^-1，是奇函数，不符合题意，舍去…（3分）
当m=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=x²，是偶函数，符合题意，…（4分）
∴f（x）=x²…（5分）
（2）因为x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1），
（x-x^-1）²=（x+x^-1）²-4，
又因为x+x^-1=3，
∴（x+x^-1）²=（x+x^-1）²-4=5，
又因为x＞1，所以x-x^-1＞0，
即x-x^-1=$\sqrt{5}$，
所以x²-x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）=3$\sqrt{5}$…（10分）
另解法2：由x+x^-1=3，（x＞1），得x²-3x+1=0，即x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
所以x²-x^-2=${（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）}^{2}$-${（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）}^{-2}$=$\frac{14+6\sqrt{5}}{4}$-$\frac{4}{14+6\sqrt{5}}$=$\frac{14+6\sqrt{5}}{4}$-$\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$=3$\sqrt{5}$…（10分）
法3：由x+x^-1=3，得（x+x^-1）²=x²+x^-2+2=9，
所以x²+x^-2=7，
因为x²-x^-2＞0，
所以（x²-x^-2）²=（x²+x^-2）²-4=45，
即x²-x^-2=3$\sqrt{5}$…（10分）

点评 本题考查了幂函数的定义，考查函数的奇偶性问题，考查代数式求值问题，是一道中档题．