Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PDC⊥平面ABCD，AC=AD=PD=PC，∠DAC=90°，M在PB上．
（Ⅰ）若点M是PB的中点，求证：PA⊥平面CDM；
（Ⅱ）在线段PB上确定点M的位置，使得二面角D-MC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DC的中点O，连结PO，OA，则PO⊥DC，AO⊥DC，取PA的中点N，连结ON，MN，推导出四边形MNOC为平行四边形，CM⊥PA，由此能证明PA⊥平面CDM．
（Ⅱ）以O为原点，OA，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当点M是PB的中点时，二面角D-MC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 证明：（Ⅰ）取DC的中点O，连结PO，OA，
则PO⊥DC，AO⊥DC，
又PO∩OA=O，∴PO⊥平面POA，∴CD⊥PA，
取PA的中点N，连结ON，MN，
由M为PB的中点，得四边形MNOC为平行四边形，
∴OM∥ON，
又在△POA中，OP=OA，N为PA中点，则ON⊥PA，∴CM⊥PA，
又CM?平面CDM，CD?平面CDM，CM∩CD=C，
∴PA⊥平面CDM．
解：（Ⅱ）由平面PDC⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设DC=2，则D（0，-1，0），C（0，1，0），B（1，2，0），P（0，0，1），
设平面MCB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{CB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-1，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
设$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PB}$，（0＜λ＜1），则M（λ，2λ，1-λ），
$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{CM}$=（λ，2λ-1，1-λ），
设平面DCM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=λa+（2λ-1）b+（1-λ）c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{λ-1}{λ}$，0，1），
∵二面角D-MC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-\frac{λ-1}{λ}+1|}{\sqrt{3}•\sqrt{（\frac{λ-1}{λ}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴当点M是PB的中点时，二面角D-MC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．