Question

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，点P(1，)和A、B都在椭圆E上，且＋＝m(m∈R)．

(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；

(2)当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由＝及解得a2＝4，b2＝3， 　　椭圆方程为；2分 　　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由＋＝m得 　　(x1＋x2－2，y1＋y2－3)＝m(1，)，即 　　又，，两式相减得 　　；6分 　　(2)由(1)知，点A(x1，y1)、B(x2，y2)的坐标满足， 　　点P的坐标为(1，)，m＝－3，于是x1＋x2＋1＝3＋m＝0，y1＋y2＋＝3＋＋＝0， 　　因此△PAB的重心坐标为(0，0)．即原点是△PAB的重心． 　　∵x1＋x2＝－1，y1＋y2＝－，∴AB中点坐标为(，)，10分 　　又，，两式相减得 　　； 　　∴直线AB的方程为y＋＝(x＋)，即x＋2y＋2＝0；13分