Question

11．已知圆O和圆C的极坐标方程分别为ρ=2和ρ=4sinθ，点P为圆O上任意一点．
（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为θ=$\frac{π}{3}$，求|PQ|得长；
（2）已知D（2，$\frac{3}{2}$π），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|²+|PB|²+|PD|²为定值．

Answer 1

分析 （1）θ=$\frac{π}{3}$代入ρ=4sinθ，可得ρ=2$\sqrt{3}$，即可求出|PQ|；
（2）求出A，B，D的直角坐标，利用两点间的距离公式，即可得出结论．

解答 （1）解：θ=$\frac{π}{3}$代入ρ=4sinθ，可得ρ=2$\sqrt{3}$，
∴|PQ|=2$\sqrt{3}$-2；
（2）证明：由题意，A（-$\sqrt{3}$，1），B（$\sqrt{3}$，1），D（0，-2），
设P（x，y），则|PA|²+|PB|²+|PD|²=（x+$\sqrt{3}$）²+（y-1）²+（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²+x²+（y+2）²=3（x²+y²）+12=24，为定值．

点评 本题考查极坐标方程，考查两点间的距离公式，比较基础．