Question

13．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为板轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）消掉t化直线的参数方程为普通方程，可得在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是$\frac{π}{3}$，由此求得直线l的极坐标方程；
（2）把直线的极坐标方程代入ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0，化为关于ρ的方程，利用根与系数的关系及ρ的几何意义求AB的长．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，得y=$\sqrt{3}x$，
∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是$\frac{π}{3}$，
因此，直线l的极坐标方程是θ=$\frac{π}{3}$，（ρ∈R）；
（2）把θ=$\frac{π}{3}$代入曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+ρ²sin²θ-2ρsinθ-3=0，得ρ²-$\sqrt{3}$ρ-3=0，
∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ₁+ρ₂=$\sqrt{3}$，ρ₁ρ₂=-3，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-4×（-3）}=\sqrt{15}$．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查了普通方程化极坐标方程，训练了利用极坐标法求直线被圆锥曲线所截弦长问题，是基础题．