Question

13．求极限$\underset{lim}{n→∞}$n（$\frac{1}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{{n}^{2}+2}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）

Answer 1

分析 由于$\frac{n}{{n}^{2}+n}$＜$\frac{1}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{{n}^{2}+2}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，可得n•$\frac{n}{{n}^{2}+n}$＜n•（$\frac{1}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{{n}^{2}+2}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$•n，利用“两边夹”定理即可得出．

解答 解：∵$\frac{n}{{n}^{2}+n}$＜$\frac{1}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{{n}^{2}+2}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，
∴n•$\frac{n}{{n}^{2}+n}$＜n•（$\frac{1}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{{n}^{2}+2}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$•n，
而$\underset{lim}{n→∞}\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+n}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+n}$=1
原式=1．

点评 本题考查了“放缩法”、不等式的性质、利用“两边夹”定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．