Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}，x≤1}\\{f（x-2）+\frac{1}{2}，x＞1}\end{array}\right.$若方程f（x）=a|x-1|，（a∈R）有且仅有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是a≤0或a=3-$\sqrt{7}$或$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 问题转化为y=f（x）与y=a（x-1）有且只有两个不同的交点，即可得出结论．

解答 解：设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，f（x）=$-\frac{1}{2}（x-2）^{2}+\frac{1}{2}$，同理3＜x≤5，f（x）=$-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∵方程f（x）=a|x-1|，（a∈R）有且仅有两个不相等的实数解，
∴y=f（x）与y=a（x-1）有且只有两个不同的交点，
可知a≤0时满足题意，
a＞0时，由$-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=a（x-1），可得x²+（2a-8）x-2a+14=0，
由△=（2a-8）²-4（-2a+14）=0，可得a=3-$\sqrt{7}$．
（5，$\frac{1}{2}$）代入y=a（x-1），可得a=$\frac{1}{8}$，（7，1）代入y=a（x-1），可得a=$\frac{1}{6}$，故$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$满足题意，
∴若方程f（x）=a|x-1|，（a∈R）有且仅有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是a≤0或a=3-$\sqrt{7}$或$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$．
故答案为a≤0或a=3-$\sqrt{7}$或$\frac{1}{8}≤a＜\frac{1}{6}$．

点评 本题考查方程根的研究，考查数形结合的数学思想，正确运用函数的图象是关键．