Question

3．若直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0圆C：（x-1）²+（y-2）²=25交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为（　　）

• A． $8\sqrt{5}$
• B． $4\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，由勾股定理即可得到最短弦长．

解答 解：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=1，
故l恒过定点D（3，1）．
因为（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交．
圆心C（1，2），半径为5，|CD|=$\sqrt{5}$，
当截得的弦长最小时，l⊥CD，最短的弦长是2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．
故选B．

点评 本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．