Question

已知圆的方程：x²+y²=2
（1）若点P（x，y）在圆上，求x+y的取值范围；
（2）过点P（2，4）作圆的切线PA、PB，A、B为切点．
①求PA，PB的方程；
②求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）可令x=

2

cosα，y=

2

sinα，运用两角和的正弦公式，即可求得最大、最小；
（2）①设出切线方程，由相切的条件：d=r，化简整理求出k，即可；
②直线AB可看作已知圆与以OP为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可．

解答： 解：（1）由圆的方程：x²+y²=2，可令x=

2

cosα，y=

2

sinα，
则x+y=

2

（cosα+sinα）=2sin（α+

π

4

），则取得最大为2，最小为-2．
∴x+y的取值范围是[-2，2]．
（2）①设过P的切线方程为：y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由相切的条件得，d=r即

|4-2k|

1+k2

=

2

，化简得，k=1或k=7．
∴PA，PB的方程分别为：y-4=x-2或y-4=7（x-2）即有y=x+2或y=7x-10．
②直线AB可看作已知圆与以OP为直径的圆的交线，
以OP为直径的圆的方程为：（x-1）²+（y-2）²=1+4，即x²+y²-2x-4y=0
将两圆的方程相减得，2x+4y=2即x+2y-1=0．
∴直线AB的方程是x+2y-1=0．

点评：本题考查直线与圆的方程，及位置关系的判断，考查基本的运算能力，属于中档题．