Question

【题目】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在直线为轴建立直角坐标系，曲线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点，，为直线上任意一点，点在射线上运动，且．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求点轨迹围成的面积．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）根据极坐标与平面直角坐标之间的关系即可求解.

（2）由（1）知，，则可求直线的极坐标方程为，在极坐标系中，设，，则，点在直线上，代入与Q点关系即可得到Q的轨迹方程，化简并转化为直角坐标方程可得轨迹为圆，求圆面积即可.

（1）∵，∴．

由得，

∴曲线的直角坐标方程．

（2）由（1）知，，

则直线的直角坐标方程为，

极坐标方程为．

在极坐标系中，设，，则．

∵点在直线上，∴，

∴，

即，即．

∴点轨迹的直角坐标方程为，

即，

∴点的轨迹为半径为的圆，圆的面积为．