Question

14．已知O为椭圆中心，F₁为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF₁⊥F₁A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 画出图形，利用已知条件列出方程，求解即可．

解答 解：O为椭圆中心，F₁为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF₁⊥F₁A，PO∥AB，如图：可得：$\frac{P{F}_{1}}{OB}=\frac{O{F}_{1}}{OA}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{b}$=$\frac{b}{a}$，可得b=c，a=$\sqrt{2}$c，
所以椭圆的离心率为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．