Question

3．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱$SD=2，SA=2\sqrt{2}$，∠SDC=120°．
（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；
（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由SD=2，SA=2$\sqrt{2}$，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由线面垂直的判定得AD⊥侧面SDC；
（Ⅱ）证明∠BSC棱SB与面SDC所成角，即可求棱SB与面SDC所成角的大小．

解答 （Ⅰ）证明：∵SD=2，SA=2$\sqrt{2}$，
∴AD⊥SD，
又AD⊥CD，CD?侧面SDC，SD?侧面SDC，且SD∩CD=D，
∴AD⊥侧面SDC；
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥侧面SDC，
∴∠BSC是棱SB与面SDC所成角．
△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2$\sqrt{3}$，
△BSC中，tan∠BSC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠BSC=30°，
∴棱SB与面SDC所成角为30°．

点评 本题主要考查线面垂直，考查线面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．