Question

12．已知，函数f（x）=|x+a|+|x-b|．
（1）当a=1，b=2时，求不等式f（x）＜4的解集；
（2）若a，b∈R⁺，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，求证：f（x）≥4．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）当a=1，b=2时，不等式f（x）＜4化为|x+1|+|x-2|＜4，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-2x＜3}\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{3＜4}\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x＜5}\end{array}$，
解得$-\frac{3}{2}＜x≤-1$或-1＜x＜2或$2≤x＜\frac{5}{2}$，
∴不等式f（x）＜4的解集为$\{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{5}{2}\}$；
（2）f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|
=|a+b|=$a+b=（{a+b}）（{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}）=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$$≥2+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}=4$，
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即$b=a=\frac{1}{2}$时“=”成立，
所以f（x）≥4．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道中档题．