Question

（本小题满分13分）已知函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.

（Ⅰ）若点P的坐标为，求的值；

（Ⅱ）已知，求切点P的坐标.

Answer 1

（Ⅰ），; （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意，得，且，， 由已知，得，即，解方程，即可求出结果.（Ⅱ）若，则，，设切点坐标为，其中,由题意，得 ①，②，由②，得，其中，代入①，得 （*），因为 ，且，所以 .设函数 ，，

则 ，令 ，解得或(舍). 列出当变化时，与的变化情况表，解方程即可求出切点P的坐标.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由题意，得， 1分

且，， 3分

由已知，得，即，

解得，. 5分

（Ⅱ）【解析】
若，则，，

设切点坐标为 ，其中,

由题意，得 ， ①

， ② 6分

由②，得 ，其中，

代入①，得 . （*） 7分

因为 ，且，

所以 . 8分

设函数 ，，

则 . 9分

令 ，解得或(舍). 10分

当变化时，与的变化情况如下表所示，

		1
		0
	↗		↘

12分

所以当时，取到最大值，且当时.

因此，当且仅当时.

所以方程（*）有且仅有一解.

于是 ，

因此切点P的坐标为. 13分.

考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性上的应用.