Question

9．设函数f（x）=x-|x+2|-|x-3|-m（m∈R）．
（Ⅰ）当m=-4时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使得f（x₀）≥$\frac{1}{m}$-4，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用绝对值的意义，去掉绝对值号，化为分段函数，利用分段函数的性质，求解函数的最值；
（II）由$f（{x_0}）≥\frac{1}{m}-4$，即${x_0}-|{x_0}+2|-|{x_0}-3|+4≥m+\frac{1}{m}$，转为$m+\frac{1}{m}≤g{（x）_{max}}=2$，分类讨论m，即可求解实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当m=-4时，$f（x）=x-|x+2|-|x-3|+4=\left\{\begin{array}{l}3x+3，x＜-2\\ x-1，-2≤x≤3\\-x+5，x＞3\end{array}\right.$，
∴函数f（x）在（-∞，3]上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，所以f（x）_max=f（3）=2．
（Ⅱ）$f（{x_0}）≥\frac{1}{m}-4$，即${x_0}-|{x_0}+2|-|{x_0}-3|+4≥m+\frac{1}{m}$，
令g（x）=x-|x+2|-|x-3|+4，则存在x₀∈R，使得g（x₀）≥$m+\frac{1}{m}$成立，
∴$m+\frac{1}{m}≤g{（x）_{max}}=2$，即$m+\frac{1}{m}≤2$，
∴当m＞0时，原不等式为（m-1）²≤0，解得m=1，
当m＜0时，原不等式为（m-1）²≥0，解得m＜0，
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，0）∪{1}．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用，考查计算能力．