Question

18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AA₁=2，AC=2$\sqrt{2}$，M是CC₁的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC₁上，且BQ=$\frac{1}{3}$QC₁．
（1）证明：PQ∥平面ABC；
（2）若∠BAC=30°，求三棱锥A-PBQ的体积．

Answer 1

分析 （1）作PF⊥AC，QE⊥BC，连接FE，证明PQFE是平行四边形，可得PQ∥FE，利用线面平行的判定定理证明PQ∥平面ABC；
（2）求出Q到平面ABP的距离，利用三棱锥的体积公式求三棱锥A-PBQ的体积．

解答 （1）证明：作PF⊥AC，QE⊥BC，连接FE．
∵P是AM的中点，
∴PF∥MC，PF=$\frac{1}{2}$MC
∵BQ=$\frac{1}{3}$QC₁，
∴QE∥MC，QE=$\frac{1}{2}$MC
∴PF∥QE，PF=QE，
∴PQFE是平行四边形，
∴PQ∥FE
∵PQ?平面ABC，FE?平面ABC，
∴PQ∥平面ABC；
（2）解：∵AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=30°，
∴BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{6}$．
设C到平面ABM的距离为h，则$\frac{1}{2}×BC×CM=\frac{1}{2}×BM×h$，∴h=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴Q到平面ABP的距离为$\frac{\sqrt{6}}{12}$
又${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}{S}_{△ABM}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴V_A-PBQ=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$

点评 本题考查线面平行判定的证明，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．