Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且$cosA=\frac{1}{3}$
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$5\sqrt{2}$，求sinB及边b．

Answer 1

分析 （I）使用二倍角公式得出关于cosC的方程解出；
（II）使用和角公式计算sinB，利用正弦定理和面积公式计算b．

解答 解：（I）∵cosA=cos2C=2cos²C-1=$\frac{1}{3}$，∴cosC=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵A=2C，∴C是锐角，
∴cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（II）∵cosA=$\frac{1}{3}$，cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．
由正弦定理得$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$．∴a=$\frac{2\sqrt{6}}{5}b$
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{5}{b}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=5$\sqrt{2}$，
∴b=5．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，利用正弦定理解三角形，属于中档题．