题目内容
17．
如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=∠DAB=90°，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD，Q是PC的中点．（1）求证：BQ∥平面PAD；
（2）探究在过BQ且与底面ABCD相交的平面中是否存在一个平面α，把四棱锥P-ABCD截成两部分，使得其中一部分为一个四个面都是直角三角形的四面体，若存在，求平面PBC与平面α所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）取PD的中点F，连结AF、FQ，推导出四边形ABQF为平行四边形，由此能证明BQ∥平面PAD．
（2）设过BQ的平面与平面PCD交于QE，E为△PCD的边与平面α的交点，当E为CD的中点时，四面体Q-BCE的四个面都是直角三角形，BQ⊥面PCD，BQ⊥QE，BQ⊥QC，∠EQC是截面α与平面QBC所成二面角的平面角，由此能求出平面PBC与平面α所成锐二面角的余弦值．
解答 
证明：（1）取PD的中点F，连结AF、FQ
∵Q为PC的中点，则FQ为△PCD的中位线，
∴FQ∥CD，且FQ=$\frac{1}{2}$CD，
又∵AB∥CD，且AB=$\frac{1}{2}$CD，∴FQ∥AB，且FQ=AB，
∴四边形ABQF为平行四边形，BQ∥AF，
又∵AF?平面PAD，BQ?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）设过BQ的平面与平面PCD交于QE，E为△PCD的边与平面α的交点，
当E为CD的中点时，四面体Q-BCE的四个面都是直角三角形．
证明如下：
∵当E为CD的中点时，则DE∥AB，且DE=AB，∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，又∠ADC=90°，∴∠BEC=90°，
∴△BEC为直角三角形，
∵在△PAD中，AD=AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD在平面ABCD内，∴PA⊥CD，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴∠FDC=90°，又QE∥PD，∴∠CEQ=90°，∴△CEQ为直角三角形，
又∵AF?面PAD，∴AF⊥CD，又PD∩CD=D，∴AF⊥面PCD，
由BQ∥AF，得BQ⊥面PCD，由CQ，EQ都在平面PCD内，
∴BQ⊥CQ，BQ⊥EQ，
∴四面体Q-BCE的四个面都为直角三角形，
∴BQ⊥面PCD，BQ⊥QE，BQ⊥QC，
∴∠EQC是截面α与平面QBC所成二面角的平面角，
设PA=AB=AD=1，由PD=$\sqrt{2}$，QE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PC=$\sqrt{6}$，CQ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△QEC中，cos∠EQC=$\frac{EQ}{QC}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴平面PBC与平面α所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的平面是否存在的探究及求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
寒假学与练系列答案| A． | $\frac{{C}_{12}^{3}{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}{{A}_{3}^{3}}$A${\;}_{4}^{4}$ | B． | C${\;}_{12}^{3}$C${\;}_{9}^{3}$C${\;}_{6}^{3}$34 | ||
| C． | $\frac{{C}_{12}^{3}{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}{{A}_{4}^{4}}$43 | D． | C${\;}_{12}^{3}$C${\;}_{9}^{3}$C${\;}_{6}^{3}$43 |
