题目内容
16．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性，现将这三项的满意度指标分别记为x、y、z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标ω=x+y+z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级，为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：| 人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| （x，y，z） | （1，1，2） | （2，1，1） | （2，2，2） | （0，1，1） | （1，2，1） |
| 人员编号 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| （x，y，z） | （1，2，2） | （1，1，1） | （1，2，2） | （1，0，0） | （1，1，1） |
（Ⅱ）从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量ξ=m-n，求随机变量ξ的分布列及其数学期望．
分析 （Ⅰ）记事件A为“从10被调查者中任取两人，这两人的居住满意度指标z相同”，从10被调查者中任取两人，先求出基本事件总数，再求出这两人的居住满意度指标z相同的结果，由此能求出这两人的居住满意度指标z相同的概率．
（Ⅱ）由题意ξ=m-n的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答 解：（Ⅰ）记事件A为“从10被调查者中任取两人，这两人的居住满意度指标z相同”，
则居住满意指标z为0的只有编号为9的一位，
居住满意指标z为1的有编号为2，4，5，7，10，共五位，
居住满意指标z为2的有编号为1，3，6，8，共四位，
从10被调查者中任取两人，基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
这两人的居住满意度指标z相同的结果为${C}_{5}^{2}+{C}_{4}^{2}$=16，
∴这两人的居住满意度指标z相同的概率p=$\frac{16}{45}$．
（Ⅱ）计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
| 人员编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 综合指标 | 4 | 4 | 6 | 2 | 4 | 5 | 3 | 5 | 1 | 3 |
居住满意度不是一级的有编号为4，7，9，10共四位，则n的可能取值为1，2，3，
∴ξ=m-n的可能取值为1，2，3，4，5，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{24}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{7}{24}$ | $\frac{7}{24}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{24}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
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