Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝(a_n－1)，数列{b_n}满足b_n＝b_n－1－(n≥2)，且b₁＝3.

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)设数列{c_n}满足c_n＝a_n·log₂(b_n＋1)，其前n项和为T_n，求T_n.

Answer 1

解析：(1)对于数列{a_n}有S_n＝(a_n－1)，①

S_n－1＝(a_n－1－1)(n≥2)，②

由①－②，得a_n＝(a_n－a_n－1)，即a_n＝3a_n－1，

n＝1时，S₁＝(a₁－1)＝a₁，解得a₁＝3，

则a_n＝a₁·q^n－1＝3·3^n－1＝3ⁿ.

对于数列{b_n}，有b_n＝b_n－1－(n≥2)，

可得b_n＋1＝b_n－1＋，即＝.

b_n＋1＝(b₁＋1)^n－1＝4^n－1＝4^2－n，

即b_n＝4^2－n－1.

(2)由(1)可知

c_n＝a_n·log₂(b_n＋1)＝3ⁿ·log₂ 4^2－n

＝3ⁿ·log₂ 2^4－2n＝3ⁿ(4－2n)．

T_n＝2·3¹＋0·3²＋(－2)·3³＋…＋(4－2n)·3ⁿ，③

3T_n＝2·3²＋0·3³＋…＋(6－2n)·3ⁿ＋(4－2n)·3^n＋1，④

由③－④，得

－2T_n＝2·3＋(－2)·3²＋(－2)·3³＋…＋(－2)·3ⁿ－(4－2n)·3^n＋1

＝6＋(－2)(3²＋3³＋…＋3ⁿ)－(4－2n)·3^n＋1，

则T_n＝－3＋＋(2－n)·3^n＋1

＝－＋·3^n＋1.