Question

20．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx+a函数的最大值为1．
（1）f（x）的单调递增区间；
（2）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=1，C=$\frac{π}{4}$，c=2，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．
（2）由f（A）=1，可得2sin$（A+\frac{π}{6}）$-1=1，解得A=$\frac{π}{3}$．可得B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$．利用和差公式可得：sinB，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx+a=2sinxcos$\frac{π}{6}$+cosx+a
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a
=2$sin（x+\frac{π}{6}）$+a，
∵函数f（x）的最大值为1，∴2+a=1，解得a=-1．
∴f（x）=2$sin（x+\frac{π}{6}）$-1，
由$-\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z．
解得$-\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，
∴f（x）的单调递增区间为[$-\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]．
（2）∵f（A）=1，
∴2sin$（A+\frac{π}{6}）$-1=1，
∴sin$（A+\frac{π}{6}）$=1，
A∈（0，π），解得A=$\frac{π}{3}$．
∴B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$．
∴sinB=$sin（\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）$=$sin\frac{π}{3}cos\frac{π}{4}$+$cos\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得b=$\frac{2×sin\frac{5π}{12}}{sin\frac{π}{4}}$=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．