Question

17．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函数f（x）=$\frac{k}{x}$（k≠0，k为常数）与集合M的关系？请说明理由；
（2）证明：函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{3}{8}$x²∈M．

Answer 1

分析 （1）根据题意，直接令$\frac{k}{{x}_{0}+1}$=$\frac{k}{{x}_{0}}$+k，解分式不等式得出无解，故f（x）∉M；
（2）只要存在一个x₀即可满足题意，故探索发现令x₀=1时，满足题意．

解答 解：（1）f（x₀+1）=$\frac{k}{{x}_{0}+1}$，
f（x₀）+f（1）=$\frac{k}{{x}_{0}}$+k，
∵$\frac{k}{{x}_{0}+1}$=$\frac{k}{{x}_{0}}$+k，
∴解得无解，故f（x）∉M；
（2）f（1）=$\frac{7}{8}$，f（2）=$\frac{7}{4}$=$\frac{7}{8}$+$\frac{7}{8}$，
故令x₀=1时，满足题意，
∴函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{3}{8}$x²∈M．

点评 本题考查了抽象函数新定义题型的解题，难点是对题意的深刻理解．