Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知直角坐标系中动点，参数，在以原点为极点、轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点在曲线：上.

（1）求点的轨迹的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若动点的轨迹和曲线有两个公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）点的轨迹的方程：，曲线的方程为：， ；（2）.

【解析】试题分析：（1）设点的坐标为，则有，消去参数可得普通方程，由曲线：，得，由，代入可得直角坐标方程；

（2）由数形结合的思想曲线表示过点，斜率为的直线与动点的轨迹，以为圆心，为半径的圆有两个公共点即可.

试题解析：

（1）设点的坐标为，则有

消去参数，可得，为点的轨迹的方程；

由曲线：，得，且，

由，故曲线的方程为： ；

（2）曲线的方程为： ，即

表示过点，斜率为的直线，

动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

由轨迹和曲线有两个公共点，结合图形可得．

（或圆心到直线的距离小于半径和去求）.