题目内容

已知a=（cosα，sinα），b=（sinβ，cosβ），a与b之间有关系｜ka+b｜=｜a-kb｜，其中k＞0．

（1）用k表示a·b；

（2）求a·b的最小值，并求此时a与b的夹角．

解法一:（1）｜ka+b｜=｜a-kb｜，两边平方，整理得：a·b=?∵a=（cosα，sinα），b=（sinβ，cosβ）  ∴a2=1，b2=1?∴a·b=（k＞0） （2）∵k＞0，∴k+1k≥2?即a·b的最小值为，此时cosθ==  ∴θ=60°解法二:（1）由a=（cosα，sinα），b=（sinβ，cosβ）?∴ka+b=（kcosα+sinβ，ksinα+cosβ）a-kb=（cosα-ksinβ，sinα-kcosβ）∴｜ka+b｜2=（kcosα+sinβ）2+（ksinα+cosβ）2=k2+1+2ksin（α+β）｜a-kb｜2=（cosα-ksinβ）2+（sinα-kcosβ）2=k2+1-2ksin（α+β）?由｜ka+b｜=｜a-kb｜，∴｜ka+b｜2=3｜a-kb｜2?即k2+1+2ksin（α+β）=3（k2+1-2ksin（α+β））有：sin（α+β）=（k＞0）?又∵a·b=sinβcosα+cosβsinα=sin（α+β）?∴a·b=（k＞0）.（2）同解法一.

练习册系列答案
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定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
2
sinθ)（θ∈R），点N（x，y）满足
ON
=a⊙b（其中O为坐标原点），则|
ON
|2的最大值为（　　）
A、
2
B、2+
2
C、2-
2
D、2
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
与k
a
-
b
大小相等，求β-α（k≠0）．
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），则（　　）
已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=
7π
6
，求
a
•
b
的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，α=
π
8
，且α-β∈(-
π
2
，0)，求tan（α+β）的值．
（2005•朝阳区一模）已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求证：
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）设|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．

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