Question

已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1有且只有一个公共点，其中m、n∈P，则满足上述条件的双曲线共有

 

个．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，将直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1的方程联立，消去y得：（m-4n）x²-4nx-n-1=0；分①直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1相切，②直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1相交，讨论，分别利用判别式与直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1的一条渐近线平行即可求得答案．

解答： 解：∵直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1有且只有一个公共点，
∴由直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1消去y得：（m-4n）x²-4nx-n-1=0，
①若m-4n≠0，直线y=2x+1与双曲线mx²-ny²=1相切，
则△=16n²-4（m-4n）（-n-1）=0，
整理得：m（n+1）=4n，
∴m=

4n

n+1

，
又m，n∈P={x|1≤x≤8，x∈Z}，
∴当n=1时，m=2符合题意；当n=3时，m=3符合题意；当n为2，4，5，…，8时均不符合题意；
②若m-4n=0，直线y=2x+1必与双曲线mx²-ny²=1的一条渐近线y=

m n

x平行，
∵m，n∈P，
∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=8．
综合①②知，满足上述条件的双曲线共有4条，
故答案为：4．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想与分类讨论思想的综合应用，考查双曲线的渐近线方程，考查综合运算与求解能力，属于难题．