Question

7．已知函数$f（x）=sinωx（cosωx-\sqrt{3}sinωx）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（ω＞0）$的最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，由函数的周期公式即可求得ω的值；
（2）由（1）可知，利用正弦函数的性质，求得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：由$f（x）=sinωx（cosωx-\sqrt{3}sinωx）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
=$sinωx•cosωx-\sqrt{3}{sin^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
=$\frac{1}{2}sin2ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx$，
=$sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，…（5分）
（Ⅰ）  又因为函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$．
解得：ω=2．…（7分）
（Ⅱ） 令$2kπ+\frac{π}{2}≤4x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$，解得：$2kπ+\frac{π}{6}≤4x≤2kπ+\frac{7π}{6}，k∈Z$，
∴$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{24}≤x≤\frac{kπ}{2}+\frac{7π}{24}，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调递减区间是$[\frac{kπ}{2}+\frac{π}{24}，\frac{kπ}{2}+\frac{7π}{24}]，k∈Z$．…（13分）

点评 本题考查辅助角公式及二倍角公式的应用，考查正弦函数图象与性质，考查计算能力，属于中档题．