题目内容

15．用分析法证明：$\sqrt{2a}-\sqrt{2a-1}＜\sqrt{2a-2}-\sqrt{2a-3}$（其中$a≥\frac{3}{2}$）

分析 依题意，要证：成立，利用分析法的语言，需证其充分条件成立，直至0＜2显然成立，从而可知原结论成立．

解答 证明：要证$\sqrt{2a}-\sqrt{2a-1}＜\sqrt{2a-2}-\sqrt{2a-3}$（其中$a≥\frac{3}{2}$），
只需证$\sqrt{2a}$+$\sqrt{2a-3}$＜$\sqrt{2a-1}$+$\sqrt{2a-2}$，
只需证（$\sqrt{2a}$+$\sqrt{2a-3}$）2＜（$\sqrt{2a-1}$+$\sqrt{2a-2}$）2，
即证4a-3+2$\sqrt{4{a}^{2}-6a}$＜4a-3+2$\sqrt{4{a}^{2}-6a+2}$，
即证$\sqrt{4{a}^{2}-6a}$＜$\sqrt{4{a}^{2}-6a+2}$，
即证4a2-6a＜4a2-6a+2，
即证0＜2
上式显然成立，
故原不等式成立

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法的应用，考查推理能力，属于中档题．

练习册系列答案
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4．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a-b＞0”是“a+b＞0”的（　　）
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C．充要条件D．既不充分也不必要条件

已知a＞0，b＞0，且2a+b=ab，则a+2b的最小值为（ ）

A．5+ B． C．5 D．9

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