题目内容

设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且
Sn
Tn
=
n
2n+1
，则logb5a5=
9
19
9
19
．
分析：设{an}的公比为q，{bn}的公比为p，则数列{lgan}是等差数列，公差为lgq，{lgbn}是等差数列，公差为lgp．求出Sn和Tn，由于
Sn
Tn
=
n
2n+1
=
lga1+
n-1
2
lgq
lgb1+
n-1
2
lgp
，根据 logb5a5=
lga5
lgb5
=
lga1+4lgq
lgb1+4lgp
=
S9
T9
，运算求得结果．
解答：解：设正项等比数列{an}的公比为q，设正项等比数列{bn}的公比为p，则数列{lgan}是等差数列，公差为lgq，{lgbn}是等差数列，公差为lgp．
故 Sn =n•lga1+
n(n-1)
2
• lgq，同理可得 Tn =n•lgb1+
n(n-1)
2
• lgp．
又
Sn
Tn
=
n
2n+1
=
lga1+
n-1
2
lgq
lgb1+
n-1
2
lgp
，
∴logb5a5=
lga5
lgb5
=
lga1+4lgq
lgb1+4lgp
=
S9
T9
=
9
19
，
故答案为
9
19
．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，对数的运算性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A，B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立．
（1）设A=0，求证：数列{an}是等比数列；
（2）设数列{an}是等差数列，若p＜q，且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
，求p，q的值．
（3）设A＞0，A≠1，且
an
an+1
≤M对任意正整数n都成立，求M的取值范围．
设数列{an}满足a1=0，4an+1=4an+2
4an+1
+1，令bn=
4an+1
．
（1）试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；
（2）令Tn=
b1×b3×b5×…×b(2n-1)
b2×b4×b6×…b2n
，是否存在实数a，使得不等式Tn
bn+1
＜
2
log2(a+1)对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）比较bnbn+1与bn+1bn的大小．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3…，其中A，B为常数．数列{an}的通项公式为
an=5n-4
an=5n-4
．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn
（1）证明：当b=2时，{an-n•2n-1}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式．
设数列{an}的通项公式为an=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b10；
（2）若a=2，b=-1，求数列{bm}的前2m项和公式．

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