题目内容

数列{an}的首项为1,前n项和是Sn,存在常数A,B使an+Sn=An+B对任意正整数n都成立.
(1)设A=0,求证:数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}是等差数列,若p<q,且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
,求p,q的值.
(3)设A>0,A≠1,且
an
an+1
≤M
对任意正整数n都成立,求M的取值范围.
分析:(Ⅰ)A=0时,an+Sn=B,得出当n≥2时,由条件得,an-an-1+(Sn-Sn-1)=0即
an
an-1
=
1
2
,从而有数列{an}是等比数列;
(Ⅱ)设数列的公差为d,分别令n=1,2,3得关于A,B,C的方程,解得A,B,C.从而得出等差数列{an}是常数列,结合题中条件得出关于p,q的方程即可求得求p,q的值;
(Ⅲ)当n=1时,得到B=2-A所以an+Sn=An+(2-A),当n≥1时,由题意得出数列{an-A}是公比为
1
2
的等比数列,下面对A进行分类讨论:①当A>1时②当0<A<1时.利用不等式的放缩即可得出M的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)A=0时,an+Sn=B,
当n≥2时,由,{
an+Sn=B
an-1+Sn-1=B
得,an-an-1+(Sn-Sn-1)=0
an
an-1
=
1
2
,所以,数列{an}是等比数列.(4分)
(Ⅱ)设数列的公差为d,分别令n=1,2,3得:,
{
a1+S1=A+B
a2+S2=2A+B
a3+S3=3A+B
,即,{
2=A+B
2d+3=2A+B
5d+4=3A+B
,解得,{
A=1
B=1
d=0

即等差数列{an}是常数列,所以Sn=n;(7分)
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
,则
1
p
+
1
q
=
1
11
,pq-11p-11q=0?(p-11)(q-11)=112
因p<q,所以
p-11=1
q-11=112
,解得
p=12
q=132
.(10分)
(Ⅲ)当n=1时,2=A+B,所以B=2-A
所以an+Sn=An+(2-A),
当n≥1时,由,{
an+Sn=An+2-A
an+1+Sn+1=A(n+1)+2-A

得an+1-an+(Sn+1-Sn)=A,
an+1=
1
2
an+
1
2
A

所以an+1-A=
1
2
(an-A)
,又a1-A≠0
即数列{an-A}是公比为
1
2
的等比数列,
所以an-A=(a1-A)(
1
2
)n-1
,即an=(1-A)(
1
2
)n-1+A
,(12分)
an
an+1
=
2nA-2A+2
2nA-A+1
=1+
1-A
(2n-1)A+1

①当A>1时
an
an+1
=1+
1-A
(2n-1)A+1
<1

an
an+1
的值随n的增大而减小,
a1
a2
a2
a3
a3
a4
…,
所以,M≥
a1
a2
,即M的取值范围是[
2
A+1
,+∞)
;(14分)
②当0<A<1时
an
an+1
=1+
1-A
(2n-1)A+1
<2

an
an+1
的值随n的增大而增大,
a1
a2
a2
a3
a3
a4
…<2,
所以,M≥2,
综上即M的取值范围是[2,+∞).(16分)
点评:本小题主要考查等比关系的确定、数列与不等式的综合、不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.
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