Question

4．函数f（x）满足条件：①定义域为R，且对任意x∈R，f（x）＜1；②对任意小于1的正实数a，存在x₀，使f（x₀）=f（-x₀）＞a，则f（x）可能是（　　）

• A． $\frac{|x|+1}{|x|-1}$
• B． $\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$
• C． $\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
• D． $\frac{x+1}{{x}^{2}+1}$

Answer 1

分析 根据题意，对选项中的四个函数进行判断，得出符合条件的函数即可．

解答 解：对于A，y=f（x）=$\frac{|x|+1}{|x|-1}$（x≠±1）不满足定义域为R，∴是不可能的函数；
对于B，y=f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$（x∈R），对任意x∈R，f（x）＜1；
且对任意小于1的正实数a，存在x₀，使f（x₀）=f（-x₀）＞a，∴是可能的函数；
对于C，y=f（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，不满足f（x）=f（-x），∴是不可能的函数；
对于D，y=f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+1}$，当x=0时，f（0）=1，不满足x∈R时f（x）＜1，∴是不可能的函数．
故选：B．

点评 本题考查了函数的定义与性质的应用问题，属于新定义的函数的应用问题，是易错题目．