Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}x}&{x＞0}\end{array}\right.$，则函数y=f[f（x）]-1的图象与x轴有2个交点．

Answer 1

分析 根据分段函数，函数值的求法，分类讨论，分别代入得到相应的方程的，解得即可．

解答 解：当x≤0时，f（x）=x+1，
当x≤0时，f（x）=x+1，
当-1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0
y=f[f（x）]-1=log₂（x+1）-1=0，即log₂（x+1）=1，解得x=1（舍去）
当x≤-1时，f（x）=x+1≤0，
y=f[f（x）]+1=f（x）+1-1=x+1=0，
∴x=-1．
当x＞0时，f（x）=log₂x，
y=f[f（x）]-1=log₂[f（x）]-1，
当0＜x＜1时，f（x）=log₂x＜0，
y=f[f（x）]-1=log₂[f（x）]-1=log₂（log₂x+1）-1=0，
∴log₂x-1=0，x=2（舍去）
当x＞1时，f（x）=log₂x＞0，
∴y=f[f（x）]-1=log₂（log₂x）-1=0，
∴log₂x=2，x=4．
综上所述，y=f[f（x）]-1的零点是x=-1，或x=4，
∴则函数y=f[f（x）]-1的图象与x轴有2个交点，
故答为：2．

点评 本题考查了函数零点的问题，以及函数值的问题，关键是分类讨论，属于中档题