Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
（Ⅱ）若，，，求λ₂的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设知，设A（x₁，y₁），则y₁²=2px，圆心，然后分别求出圆心到y轴的距离和圆半径，由此能够证明以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（Ⅱ）设设P（0，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，，得，，所以y₂²=λ₂²y₁²，x₂=λ₂²x₁，代入，得，代入，，再由，能求出λ₂的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题设知，设A（x₁，y₁），则y₁²=2px，
圆心，
圆心到y轴的距离是，
圆半径为，
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（Ⅱ）设P（0，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，，
得，，
∴，y₁=λ₁（y-y₁），
，y₂=-λ₂y₁，
∴y₂²=λ₂²y₁²，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂．
∴x₂=λ₂²x₁，
代入，
得，，
整理，得，
代入，得，
∴，
∵，
∴λ₂的取值范围[]．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．