题目内容

对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{an}为数列{
1
2n
}(n∈N*)的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）写出S3的所有可能值；
（2）若生成数列{an}的通项公式为an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N，求Sn；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N*，Sn的所有可能值组成的集合为：{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．
（1）由已知，a1=
1
2
，|an|=
1
2n
（n∈N*，n≥2），
∴a2=±
1
4
，a3=±
1
8
，
由于
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
，
1
2
+
1
4
-
1
8
=
5
8
，
1
2
-
1
4
+
1
8
=
3
8
，
1
2
-
1
4
-
1
8
=
1
8

∴S3可能值为
1
8
，
3
8
，
5
8
，
7
8
．
（2）∵an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N
∴n=3k（k∈N*）时，Sn=（
1
21
-
1
22
-
1
23
）+（
1
24
-
1
25
-
1
26
）+…+（
1
23k-2
-
1
23k-1
-
1
23k
）
=（
1
21
+
1
24
+…+
1
23k-2
）-（
1
22
+
1
25
+…+
1
23k-1
）-（
1
23
+
1
26
+
1
23k
）
=
1
2
[1-(
1
23
)k]
1-
1
23
-
1
22
[1-(
1
23
)k]
1-
1
23
-
1
23
[1-(
1
23
)k]
1-
1
23

=
8
7
[1-(
1
8
)k]（
1
2
-
1
4
-
1
8
）
=
1
7
[1-(
1
2
)n]；
n=3k+1（k∈N）时，Sn=Sn-1+an=
1
7
[1-(
1
2
)n]+
1
2n
=
1
7
[1+5(
1
2
)n]；
n=3k+2（k∈N）时，Sn=Sn+1-an+1=
1
7
[1-(
1
2
)n+1]+
1
2n+1
=
1
7
[1+3(
1
2
)n]；
∴Sn=
1
7
(1-
1
2n
)，n=3k
1
7
(1+
5
2n
)，n=3k+1
1
7
(1+
3
2n
)，n=3k+2
(k∈N)．
（3）①n=1时，S1=
1
2
，命题成立．
②假设n=k（k≥1）时命题成立，即Sk所有可能值集合为：{x|x=
2m-1
2k
，m∈N*，m≤2k-1}
由假设，Sk=
2m-1
2k
（m∈N*，m≤2k-1），
则当n=k+1，Sk+1=
1
2
±
1
22
±
1
23
±…+
1
2k
±
1
2k+1
=Sk±
1
2k+1
=
2k+1Sk±1
2k+1
，
又Sk+1=
2k+1Sk±1
2k+1
=
2(2m-1)±1
2k+1
（m∈N*，m≤2k-1），
即Sk+1=
2×(2m-1)-1
2k+1
或Sk+1=
2×(2m)-1
2k+1
（m∈N*，m≤2k-1）
即Sk+1=
2m-1
2k+1
（m∈N*，m≤2k）∴n=k+1时，命题成立．
由①②，n∈N*，Sn所有可能值集合为{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．
练习册系列答案
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的三个内角成等差数列，求证：
利用数学归纳法证明不等式1+
1
2
+
1
3
+…
1
2n-1
＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（　　）
A．1项B．k项C．2k-1项D．2k项
已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
（1）计算a1，a2，a3，并由此猜想{an}的通项公式an；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．
设复数，，在复平面上所对应点在直线上，则
=          。
若，则       .
复数的共轭复数是（   ）
A．B．C．D．
复数的模长为（　　）
A．B．C．D．2
求证：

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