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设n∈N
*
，化简1+C
n
1
?九+C
n
2
?九
2
+C
n
3
?九
3
+…+C
n
n
?九
n
=______．
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∵（1+6）
6
=C
6
0
+C
6
1
•6+C
6
2
•6
2
+…+C
6
6
6
6
∴1+C
6
1
•6+…+C
6
6
•6
6
=7
6
故答案为：7
6
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设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的两边对
x
求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式
(1+x
)
n
=
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x
2
+…+
C
n
n
x
n
（x∈R，整数n≥2），证明：
n[(1+x
)
n-1
-1]=2
C
2
n
x+3
C
3
n
x
2
+4
C
4
n
x
3
+…+n
C
n
n
x
n-1
；
（Ⅱ）当整数n≥3时，求
C
1
n
-2
C
2
n
+3
C
3
n
-…+(-1
)
n-1
n
C
n
n
的值；
（Ⅲ）当整数n≥3时，证明：
2
C
2
n
-3•2
C
3
n
+4•3
C
4
n
+…+(-1
)
n-2
n(n-1)
C
n
n
=0
．
设n∈N
*
，化简1+C
n
1
?6+C
n
2
?6
2
+C
n
3
?6
3
+…+C
n
n
?6
n
=
7
n
7
n
．
已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′
（1）化简
1
2
AA′
+
BC
+
2
3
AB
，并在图形中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN：NC′=3：1，设
MN
=α
AB
+β
AD
+γ
AA′
，试求α，β，γ的值．
（2012•嘉定区三模）已知函数f（x）=lg（1+
1
x
），点A
n
（n，0）（n∈N*），过点A
n
作直线x=n交f（x）的图象于点B
n
，设O为坐标原点．记θ
n
=∠B
n+1
A
n
A
n+1
（n∈N*），化简求和式S
n
=tanθ
1
+tanθ
2
+…+tanθ
n
=
lg（n+2）-lg2
lg（n+2）-lg2
．
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