Question

（2012•嘉定区三模）已知函数f（x）=lg（1+

1

x

），点A_n（n，0）（n∈N*），过点A_n作直线x=n交f（x）的图象于点B_n，设O为坐标原点．记θ_n=∠B_n+1A_nA_n+1（n∈N*），化简求和式S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=

lg（n+2）-lg2

．

Answer 1

分析：确定A_n（n，0），B_n+1（n+1，lg(1+

1

n+1

)），求出tanθ_n，利用裂项法求和，即可得到结论．

解答：解：由题意点A_n（n，0）（n∈N^*），过点A_n作直线x=n交f（x）的图象于点B_n，
∴A_n（n，0），B_n+1（n+1，lg(1+

1

n+1

)）
∵θ_n=∠B_n+1A_nA_n+1，
∴tanθ_n=

lg(1+ 1 n+1 )-0

(n+1)-n

lg(1+

1

n+1

)=lg（n+2）-lg（n+1）
∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=lg3-lg2+lg4-lg3+…+lg（n+2）-lg（n+1）=lg（n+2）-lg2
故答案为：lg（n+2）-lg2

点评：本题考查数列与函数的综合，考查裂项法求和，考查学生的计算能力，属于基础题．