Question

6．已知单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为120°，|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{3}$（x，y∈R），则|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|的取值范围是[1，3]．

Answer 1

分析 由已知求得$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=-\frac{1}{2}$．再由|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{3}$得到x²+y²-xy=3．然后利用配方法及换元法分别求得|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|的最大值及最小值即可．

解答 解：∵$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为120°，
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=-\frac{1}{2}$．
∴|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{（x\overrightarrow{{e}_{1}}+y\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-xy}=\sqrt{3}$．
即x²+y²-xy=3．
∴3=x²+y²-xy≥2xy-xy=xy，即xy≤3；
则|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{（x\overrightarrow{{e}_{1}}-y\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$=$\sqrt{3+2xy}≤\sqrt{9}=3$；
令x+y=t，则（x+y）²=x²+y²+2xy=t²，
∴3+xy+2xy=t²，则$xy=\frac{{t}^{2}}{3}-1$，
∴|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{（x\overrightarrow{{e}_{1}}-y\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$=$\sqrt{（x+y）^{2}-xy}$=$\sqrt{{t}^{2}-\frac{2}{3}{t}^{2}+1}$=$\sqrt{\frac{1}{3}{t}^{2}+1}≥1$．
∴|x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$|的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了利用配方法及换元法求函数的最值，属难题．