Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为$\frac{2}{\sqrt{3}}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上一动点P满足：$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OM}$+2μ$\overrightarrow{ON}$，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，若Q（λ，μ）为一动点，E₁（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E₂（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）为两定点，求|QE₁|+|QE₂|的值．

Answer 1

分析 （1）利用离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，中心O到直线AB的距离为$\frac{2}{\sqrt{3}}$．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．
（2）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用$\overrightarrow{OP}$=$λ\overrightarrow{OM}$+2μ$\overrightarrow{ON}$得，结合点P，M，N在椭圆上，
通过k_QM•k_QN=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，得到λ²+4μ²=1，由椭圆的定义，推出|QF₁|+|QF₂|=2即可．

解答 解：（1）因为直线AB的方程为ax+by-ab=0．所以$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
由已知得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故可解得a=2，b=$\sqrt{2}$；
所以椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
（2）设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由$\overrightarrow{OP}$=$λ\overrightarrow{OM}$+2μ$\overrightarrow{ON}$得，x=λx₁+2μx₂，y=λy₁+2μy₂
因为点P，M，N在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$上，
所以x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，x²+2y²=4
故x²+2y²=λ²（x₁²+2y₁²）+4μ²（x₂²+2y₂²）+4λμ（x₁x₂+2y₁y₂）=4λ²+16μ²+4λμ（x₁x₂+2y₁y₂）=4
设k_QM，k_QN分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，k_QM•k_QN=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
因此x₁•x₂+2y₁y₂=0，所以λ²+4μ²=1，
λ²+$\frac{{μ}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1，可知表达式是椭圆，a=1，b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
而E₁，E₂恰为椭圆的左右焦点，
所以由椭圆的定义，|QF₁|+|QF₂|=2．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．