Question

1．如图所示，有块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH．在直角三角形GFC中，∠GFC=θ．若截后的正方形钢板EFGH的面积是原正方形ABCD的面积的三分之二，求θ的值．

Answer 1

分析 设AB=1，设CG=a，则CF=1-a，计算FG，根据面积比列方程解出a，得出CG，CF，得出θ的值．

解答 解：设正方形ABCD的边长为1，CG=a，则BF=CG=a，CF=1-a，
∴FG=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2a+1}$．
∴正方形EFGH的面积S=FG²=2a²-2a+1=$\frac{2}{3}$．
解得a=$\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴CG=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$，CF=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$，或者CG=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$，CF=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴tanθ=$\frac{CG}{CF}$=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$．
∴θ=arctan（2+$\sqrt{3}$）或θ=arctan（2-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．