Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=$\frac{π}{4}$，b²-a²=$\frac{1}{2}{c^2}$，则tanC=（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{4}$，已知b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．可得b=$\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，a=$\frac{\sqrt{10}c}{4}$c．利用余弦定理可得cosC．利用同角三角函数基本关系式可得sinC，进而可求出tanC的值．

解答 解：在△ABC中，∵A=$\frac{π}{4}$，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{4}$，
∴b²-a²=$\sqrt{2}$bc-c²，
又b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．
∴$\sqrt{2}$bc-c²=$\frac{1}{2}$c²．
∴$\sqrt{2}$b=$\frac{3}{2}$c．可得b=$\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，
∴a²=b²-$\frac{1}{2}$c²=$\frac{5}{8}$c²，即a=$\frac{\sqrt{10}c}{4}$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{5{c}^{2}}{8}+\frac{9{c}^{2}}{8}-{c}^{2}}{2×\frac{\sqrt{10}c}{4}×\frac{3\sqrt{2}c}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2．
故选：A．

点评 本题考查了余弦定理、同角三角形基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．