Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤

1

2

-

1

4n

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1，代入计算，可得S₁，S₂，S₃；
（2）确定{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列，可得S_n=

1

2n

，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）S_n²=

1

4n2

＜

1

4

（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2），利用叠加法，即可得出结论．

解答： （1）解：∵a₁=

1

2

，a_n=-2S_nS_n-1，
∴S₁=

1

2

，S₂=

1

4

，S₃=

1

6

；
（2）解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴

1

Sn

=2n，
∴S_n=

1

2n

，
∴n≥2时，a_n=

1

2n-2n2

，
∴a_n=

1 2 ，n=1 1 2n-2n2 ，n≥2

（3）证明：∵S_n²=

1

4n2

＜

1

4

（

1

n-1

-

1

n

）（n≥2）
∴n≥2时，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²＜

1

4

+

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n-1

-

1

n

）=

1

2

-

1

4n

，
n=1时，S₁²=

1

2

-

1

4•1

，
综上，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤

1

2

-

1

4n

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．