Question

15．已知数列{a_n}为等比数列，若a₂₀₁₄和a₂₀₁₅是方程4x²-8x+3=0的两根，则a₂₀₁₆+a₂₀₁₇的值是18或$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 设数列{a_n}为公比为q的等比数列，求出二次方程的解，可得公比，运用等比数列的通项公式，计算即可得到所求和．

解答 解：设数列{a_n}为公比为q的等比数列，
a₂₀₁₄和a₂₀₁₅是方程4x²-8x+3=0的两根，
可得a₂₀₁₄=$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₅=$\frac{3}{2}$；或a₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$，a₂₀₁₄=$\frac{3}{2}$．
则公比q=3或$\frac{1}{3}$，
即有a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=a₂₀₁₅（q+q²）
=$\frac{3}{2}$×（3+9）=18；
或=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{9}$．
故答案为：18或$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，同时考查二次方程的解法，考查运算能力，属于基础题．