题目内容
7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，原点到直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．（1）求椭圆C的方程；
（2）若点A，B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点，求实数k的取值范围．
分析 （1）根据离心率公式和点到直线的距离公式，结合b2=a2-c2，即可求得椭圆C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），点B，A在椭圆上，化简可得y0=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，AB的中点在y=kx+1上，解得x0，利用$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得x=±$\sqrt{2}$，推出k的不等式，得到结果．
解答 解：（1）由已知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即c2=$\frac{1}{2}$a2，b2=a2-c2=$\frac{1}{2}$a2，
原点到直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，∴a2=4，∴b2=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）椭圆C上存在点B，A关于直线y=kx+1对称，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2
AB的中点（x0，y0），直线y=kx+1且k≠0，恒过（0，1），
则x12+（y1-1）2=x22+（y2-1）2，
点B，A在椭圆上，
∴x12=4-2y12，x22=4-2y22，∴4-2y12+（y1-1）2=4-2y22+（y2-1）2，
化简可得：y12-y22=-2（y1-y2），即y1+y2=-2，
∴y0=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，
又因为AB的中点在y=kx+1上，所以y0=kx0+1，x0=-$\frac{2}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，可得x=±$\sqrt{2}$，
∴0＜-$\frac{2}{k}$＜$\sqrt{2}$，或-$\sqrt{2}$＜-$\frac{2}{k}$＜0，
即k＜-$\sqrt{2}$或k＞$\sqrt{2}$．
则k的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点到直线的距离公式，对称知识的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．
| A． | （-∞，1） | B． | （1，2） | C． | （2，3） | D． | （3，+∞） |