题目内容
如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，
米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若
，求此时管道的长度L；（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
【答案】分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得
，
，
，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）若
，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
解答：解：（1）
，
…（2分）
…（4分）
由于
，
，
…（5分）
，
…（6分）
（2）
时，
，…（8分）
；…（10分）
（3）
=
设sinθ+cosθ=t则
…（12分）
由于
，所以
…（14分）
在
内单调递减，于是当
时
．L的最小值
米．…（15分）
答：当
时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为
米…（16分）
点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．
，
，
，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．（2）若
，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
解答：解：（1）
，
…（2分）
…（4分）由于
，
，
…（5分）
，
…（6分）（2）
时，
，…（8分）
；…（10分）（3）
=
设sinθ+cosθ=t则
…（12分）由于
，所以
…（14分）
在
内单调递减，于是当
时
．L的最小值
米．…（15分）答：当
时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为
米…（16分）点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．
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米，记∠BHE=θ．
，求此时管道的长度L；
的池底水平铺设污水净化管道
，
是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口
的中点，
分别落在线段
上.已知
米，
米，记
.
表示为
的函数,并写出定
，求此时管道的长度