Question

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

Answer 1

分析：（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．
（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L=

20

t-1

在[

3 +1

2

，

2

]上是单调减函数，可求得L的最大值．

解答：解：（1）由题意可得EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，EF=

10

sinθcosθ

，由于 BE=10tanθ≤10

3

，AF=

10

tanθ

≤10

3

，
而且

3

3

≤tanθ≤

3

，θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴L=

10

cosθ

+

10

sinθ

+

10

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]．
即L=10×

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]．
（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=

t2-1

2

，由于θ∈[

π

6

，

π

3

]，∴sinθ+cosθ=t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[

3 +1

2

，

2

]．
由于L=

20

t-1

 在[

3 +1

2

，

2

]上是单调减函数，∴当t=

3 +1

2

时，即 θ=

π

6

 或θ=

π

3

 时，L取得最大值为 20（

3

+1）米．

点评：本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．