Question

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
解答：解：（1），，
．
由于，，
所以，
所以．
所以，．
（2）当时，
，
（米）．
（3），
设sinθ+cosθ=t，
则，
所以．
由于，
所以．
由于在上单调递减，
所以当即或时，
L取得最大值米．
答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．
点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．