Question

11．双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，A为右支上一点，AF₁与双曲线左支相交于点B，且$\overrightarrow{{F_1}A}=3\overrightarrow{{F_1}B}，|{\overrightarrow{O{F_1}}}|=|{\overrightarrow{OA}}|$（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为y=±2x．

Answer 1

分析 设A（m，n），B（s，t），（m，n＞0，s＜0，t＞0），由m²+n²=c²，又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得m，n，再由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=3$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，F₁（-c，0），运用向量共线的坐标表示，求得s，t，代入双曲线的方程，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

解答 解：设A（m，n），B（s，t），（m，n＞0，s＜0，t＞0）
由题意可得m²+n²=c²，
又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得m=$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，n=$\frac{{b}^{2}}{c}$，
再由$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=3$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，F₁（-c，0），
可得m+c=3（s+c），n-0=3（t-0），
即有s=$\frac{m-2c}{3}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$-2c）
t=$\frac{1}{3}$n=$\frac{{b}^{2}}{3c}$，
代入双曲线的方程可得，$\frac{（a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}-2{c}^{2}）^{2}}{9{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{{b}^{2}}{9{c}^{2}}$=1，
结合c²=a²+b²，化简整理，可得b=2a，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±2x．
故答案为：y=±2x．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，注意运用向量共线的坐标表示和点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．