Question

【题目】如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1： 的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2： 相切于点Q．

（Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2y（2）

【解析】试题分析：（1）依据题设条件，借助导数的几何意义求出切点坐标及其斜率，建立方程组求解；（2）运用直线与圆相切的建立等量关系，通过解方程组求得点Q的坐标，进而求出S1 ，S2，建立目标函数，然后运用基本不等式求解：

解：（Ⅰ）设点，由得， ，求导，

而直线的斜率为1，所以且，解得

所以抛物线标准方程为

（Ⅱ）因为点M处的切线方程为： ，即，

根据切线又与圆相切，得，即，化简得，

由方程组，解得Q（，），

所以|PQ|=|xP-xQ|==，

点F（0，）到切线PQ的距离是d==，

所以=××=，

=，

而由知，4p2=，得|x0|＞2，

所以===

==+3≥2+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=，所以的最小值为．

．